1.Markowitz的基本思想
风险在某种意义下是可以度量的。
各种风险有可能互相抑制,或者说可能“对冲”。, 因此,投资不要“把鸡蛋放在一个篮子里”,而要分散化。
在某种“最优投资"的意义下,收益大意味着要承担的风险也更大。
2.Markowitz模型概要
马科维兹于1952年提出的“均值一方差组合模型”是在禁止融券和没有无风险借贷的假设下,以资产组合中个别股票收益率的均值和方差找出投资组合的有效
边界( Efficient
Frontier),即一定收益率水平下方差最小的投资组合,并导出投资者只在有效边界上选择投资组合。根据马科维兹资产组合的概念,欲使投资

组合风险最小,除了多样化投资于不同的股票之外,还应挑选相关系数较低的股票。因此,马科维兹的均值一方差组合模型”不只隐含将资金分散投资于不同种类的股票,还隐含应将资金投资于不同产业的股票。同时马科维兹均值-方差模型也是提供确定有效边界的技术路径的一一个规范性数理模型。
实现方法:
收益——证券组合的期望报酬
风险——证券组合的方差
风险和收益的权衡——求解二次规划
首先,投资组合的两个相关特征是: (1)它的期望回报率(2)可能的回报率围绕其期望偏离程度的某种度量,其中方差作为一种度量在分析上是最易于处理的。
其次,理性的投资者将选择并持有有效率投资组合,即那些在给定的风险水平下的期望回报最大化的投资组合,或者那些在给定期望回报率水平上的使风险最小化的投资组合。

再次,通过对某种证券的期望回报率、回报率的方差和某一证券与其它证券之间回报率的相互关系(用协方差度量)这三类信息的适当分析,辨识出有效投资组合在理论上是可行的。

最后,通过求解二次规划,可以算出有效投资组合的集合,计算结果指明各种证券在投资者的资金中占多大份额,以便实现投资组合的效性——即对给定的风险使期望回报率最大化,或对于给定的期望回报使风险最小化。
3.假设
①单期投资

单期投资是指投资者在期初投资,在期末获得回报。单期模型是对现实的一种近似描述,如对零息债券、欧式期权等的投资。虽然许多问题不是单期模型,但作为一种简化,对:单期模型的分析成为我们对多时期模型分析的基础。
②投资者事先知道投资收益率的概率分布,并且收益率满足正态分布的条件。
③投资者的效用函数是二次的,即u(W)=a+bW+CW2u (W)=a+bW+CW^2u(W)=a+bW+CW2。
④投资者以期望收益率(亦称收益率均值)来衡量未来实际收益率的总体水平,以收益率的方差(
或标准差)来衡量收益率的不确定性(风险),因而投资者在决策中只关心投资的期望收益率和方差。
⑤投资者都是不知足的和厌恶风险的,遵循占优原则,即:在同一风险水平下,选择收益率较高的证券;在同一收益率水平下,选择风险较低的证券。
4.价格与回报率
对于单期投资而言,假设在时间0以价格S0S_0S0​购买一种资产,在时间1卖出这一资产获得收益S1S_1S1​,那么投资回报率r=(S1−S0)/S0
r=(S_1-S_0)/S_0r=(S1​−S0​)/S0​。
对于证券组合而言,它的回报率可以用同样的方法计算:
rp=(W1−W0)/W0⇒W0(1+rp)=W1 r_p=(W_1-W_0)/W_0\Rightarrow W_0(1+r_p)=W_1 rp​=(W1​−
W0​)/W0​⇒W0​(1+rp​)=W1​

W0W_0W0​记t=0t=0t=0时包含在组合中的证券的综合价格,W1W_1W1​记t=1t=1t=1时包含在组合中的证券的综合价格。
我们注意到,投资者必须在t=0t=0t=0时刻对购买一个什么样的组合做出决策。在这样做的时候,对于大多数所考虑的各种组合,投资者不知道W1W_1W1​
的值,因为他们不知道这些组合的回报率是多少。从而,根据马科维茨的理论,投资者应该讲这些组合中的任一组合的回报率视为统计中所称的一个随机变量;这样的变量可以通过它们的矩阵来描述,其中的两个是预期值(或均值)和标准差。
5.证券的期望收益率
5.1 单个证券的期望
E(r)=∑sPr(s)r(s) E(r)=\sum_sPr(s)r(s) E(r)=s∑​Pr(s)r(s)

E(r)——收益率的期望值;r(s)——s状态下的收益率;Pr(s)——r(s)状态发生的概率
E(r)——收益率的期望值;r(s)——s状态下的收益率;Pr(s)——r(s)状态发生的概率E(r)——收益率的期望值;r(s)——s状态下的收益率;Pr(s
)——r(s)状态发生的概率
E(rp)=∑i=1NxiE(ri) E(r_p)=\sum_{i=1}^Nx_iE(r_i) E(rp​)=i=1∑N​xi​E(ri​)

5.2 一个证券组合的预期收益率

一个证券组合的预期收益率是其所含证券的预期收益率的加权平均,以构成比例为权重。每一证券对组合的预期收益率的贡献依赖于它的预期收益率,以及它在组合初始价值中所占份额,而与其他一一切无关。那么,一位仅仅希望
预期收益率最大的投资者将持有一种证券,这种证券是他认为预期收益率最大的证券。很少有投资者这样做,也很少有投资顾问会提供这样一个极端的
建议。相反,投资者将分散化投资,即他们的组合将包含不止一种证券。这是因为分散化可以减少由标准差所测度的风险。
5.3.1 方差——一个证券预期收益的方差
一个证券的预期收益率描述了以概率为权数的平均收益率。但是这是不够的,我们还需要一个有用的风险测度,其应该以某种方式考虑各种可能的 “坏”结果的概率以及
“坏”结果的量值。取代测度大量不同可能结果的概率,风险测度将以某种方式估计实际结果与期望结果之间可能的偏离程度,方差就是这样一个测度,因为它估计实际回报率与预期回报率之间的可能偏离。

在证券投资中,一-般认为投资收益的分布是对称的,即实际收益低于预期收益的可能性与实际收益高于预期收益的可能性是一样大的。实际发生的收益率与预期收益率的偏差越大,投资于该证券的风险也就越大,因此对单个证券的风险,通常用统计学中的方差或标准差来表示。
沿用上面的表示方法,一个证券在该时期的方差是未来收益可能值对期望收益率的偏离(通常称为离差)的平方的加权平均,权数是相应的可能值的概率。记方差为σ2
\sigma^2σ2,即有:
σ2=∑sPr(s)[r(s)−E(r)]2 \sigma^2=\sum_sPr(s)[r(s)-E(r)]^2 σ2=s∑​Pr(s)[r(s)−E(r)]
2

5.3.2 方差——两个证券组合预期收益的方差
方差分别为σ1,σ2\sigma_1,\sigma_2σ1​,σ2​的两个资产以w1,w2w_1,w_2w1​,w2​的权重构成一个资产组合,方差为:
σp2=w12σ12+w22σ22+2w1w2cor(r1,r2)
\sigma_p^2=w_1^2\sigma_1^2+w_2^2\sigma_2^2+2w_1w_2cor(r_1,r_2)σp2​=w12​σ12​+w22​
σ22​+2w1​w2​cor(r1​,r2​)

5.4.1 协方差
协方差是两个随机变量相互关系的一种统计测度,即它测度两个随机变量,如证券AAA和BBB的收益率之间的互动性。
σAB=cov(rA,rB)=E(rA−E(rA))(rB−E(rB))
\sigma_{AB}=cov(r_A,r_B)=E(r_A-E(r_A))(r_B-E(r_B))σAB​=cov(rA​,rB​)=E(rA​−E(rA​)
)(rB​−E(rB​))

协方差为正值表明证券的回报率倾向于向同一方向变动。例如,一
个证券高于预期收益率的情形很可能伴随着另一个证券的高于预期收益率的情形。一个负的协方差则表明证券与另一个证券相背变动的倾向。例如,一种证券的高于预期收益率的情形很可能伴随着另一个证券的低于预期收益率的情形。一个相对小的或者0值的协方差则表明两种证券之间只有很小的互动关系或没有任何互动关系。
5.4.2 相关系数
证券AAA和BBB的相关系数:
ρAB=σABσAσB \rho_{AB}=\frac{\sigma_{AB}}{\sigma_A\sigma_B} ρAB​=σA​σB​σAB​​

完全负相关会使风险消失
完全正相关不会减少风险
在-1.0和+1.0之间的相关性可减少风险但不是全部。
5.4.3 多个证券组合的方差协方差矩阵
σp2=∑i=1n∑j=1nwiwjσij=w′Qw
\sigma_p^2=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\sigma_{ij}=w'Qwσp2​=i=1∑n​j=1∑n​wi​wj​
σij​=w′Qw

Q=[σ11⋯σ1N⋮⋯⋮σN1⋯σNN]
Q=\begin{bmatrix}\sigma_{11}&\cdots&\sigma_{1N}\\\vdots&\cdots&\vdots\\\sigma_{N1}&\cdots&\sigma_{NN}\end{bmatrix}
Q=⎣⎢⎡​σ11​⋮σN1​​⋯⋯⋯​σ1N​⋮σNN​​⎦⎥⎤​

6.证券组合的方差和风险的分散化
(一)证券组合风险分散的原因
假定市场上有证券1,2,3,⋯,N1,2,3,\cdots,N1,2,3,⋯,N,证券iii的期望收益率为EiE_iEi​,方差为σi\sigma_iσi​
,证券iii与证券jjj的协方差为σij\sigma_{ij}σij​,投资者的投资组合为(投资于证券iii的比例):wiw_iwi​,∑i=1nwi=1
\sum_{i=1}^nw_i=1∑i=1n​wi​=1。
那么该投资组合的期望收益率和方差为:
∑i=1nwiE(ri)=E(rp)σp2=∑i=1n∑j=1nwiwjσij \sum_{i=1}^nw_iE(r_i)=E(r_p)\\
\sigma^2_p=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nw_iw_j\sigma_{ij}i=1∑n​wi​E(ri​)=E(rp​)σp2​=i
=1∑n​j=1∑n​wi​wj​σij​

(二)一个资产组合预期收益和风险的案例
A公司的股票价值对糖的价格很敏感。多年以来,当加勒比海糖的产量下降时,糖的价格便猛涨,而A公司便会遭受巨大的损失,见下表。

糖生产的正常年份 糖生产的正常年份 异常年份
牛市 熊市 糖的生产危机
概率 0.5 0.3 0.2
收益率% 25 10 -25
B公司的股票情况分析:

糖生产的正常年份 糖生产的正常年份 异常年份
牛市 熊市 糖的生产危机
概率 0.5 0.3 0.2
收益率% 1 -5 35
假定某投资者考虑下列几种可供选择的资产,一种是持有A公司的股票,一种是购买无风险资产,还有一种是持有B公司的股票。现已知投资者50%持有的A公司的股票,另外
50%该进行如何选择。无风险资产的收益率为5%。

选择方案 收益率均值 收益率方差
全部投资A公司股票 10.50% 18.90%
全部投资B公司股票 6.0% 14.7%
一半投资于国库券,一半A股票 7.75% 9.45%
一半投资于A股票,一半B股票 8.25% 4.83%
协方差对资产组合风险的影响:正的协方差提高了资产组合的方差,而负的协方差降低了资产组合的方差,它稳定资产组合的收益。
管理风险的办法:套期保值——购买和现有资产负相关的资产,这种负相关使得套期保值的资产具有降低风险的性质。
在资产组合中加入无风险资产是一种简单的风险管理策略,套期保值策略是取代这种策略的强有力的方法。

7.Markowitz证券组合选择问题的数学模型
假设有nnn种证券,它们的收益率是随机变量r1,r2,⋯ ,rnr_1,r_2,\cdots,r_nr1​,r2​,⋯,rn​。证券组合是指这nnn
种证券的一个组合,它在数学上可用一个nnn维向量w=(w1,w2,⋯ ,wn)w=(w_1,w_2,\cdots,w_n)w=(w1​,w2​,⋯,wn​)
来表示,其中实数wiw_iwi​代表第iii种证券的价格在总价值中所占的比重,这一投资组合www的收益率将是随机变量:
rp=∑i=1nwiri r_p=\sum_{i=1}^nw_ir_i rp​=i=1∑n​wi​ri​

Markowitz考虑的问题是如何确定wiw_iwi​,使得证券组合www在期望收益率E[rp]E[r_p]E[rp​]一
定时,风险(收益率的方差或标准差)最小。
令:μi=E(ri),Vij=cov(ri,rj)\mu_i=E(r_i),V_{ij}=cov(r_i,r_j)μi​=E(ri​),Vij​=cov(r
i​,rj​)
min σ2=∑i,j=1nVijwiwjs.t. ∑i=1nwi=1μw=wTμi=w1μ1+⋯+wnμn=μˉ
min\,\sigma^2=\sum_{i,j=1}^nV_{ij}w_iw_j\\ s.t.\,\sum_{i=1}^nw_i=1\\
\mu_w=w^T\mu_i=w_1\mu_1+\cdots+w_n\mu_n=\bar\muminσ2=i,j=1∑n​Vij​wi​wj​s.t.i=1∑n
​wi​=1μw​=wTμi​=w1​μ1​+⋯+wn​μn​=μˉ​

证券组合消除的是非系统性风险,系统性风险不能消除

非系统风险是企业特有的风险,诸如企业陷入法律纠纷、罢工、新产品开发失败,等等。可称为可分散风险、特有风险、特定资产风险。非系统性风险主要通过分散化减少,因此由许多种资产构成的组合将几乎不存在非系统性风险。

系统风险是指整个市场承受到的风险,如经济的景气情况、市场总体利率水平的变化等因为整个市场环境发生变化而产生的风险。可称为不可分散风险、市场风险。系统性风险影响所有的资产,不能通过分散化来去除。

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