<>积、商、幂的对数

logaMN=logaM+logaNlog_{a}MN=log_{a}M + log_{a}Nloga​MN=loga​M+loga​N的推导过程如下。

证明:设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N,代入logaMN,得logaMN=loga(ap⋅aq)=logaap+q=p+q=logaM+l
ogaN所以:logaMN=logaM+logaN \begin{array}{ll} 证明:设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\
则\quad a^p=M,\quad a^q=N ,\quad 代入log_{a}MN,\\ 得 \quad
log_{a}MN=log_{a}(a^p\cdot a^q) = log_{a}a^{p+q} = p+q = log_{a}M + log_{a}N \\
所以:log_{a}MN=log_{a}M + log_{a}N \end{array}证明:设loga​M=p,loga​N=q则ap=M,aq=N,代入lo
ga​MN,得loga​MN=loga​(ap⋅aq)=loga​ap+q=p+q=loga​M+loga​N所以:loga​MN=loga​M+loga​N​

logaMN=logaM−logaNlog_{a}{\Large\frac{M}{N}}= log_{a}M - log_{a}Nloga​NM​=loga​
M−loga​N的推导过程如下。

证明:设logaM=p,logaN=q则ap=M,aq=N,代入logaMN,得logaMN=loga(apaq)=logaap−q=p−q=logaM−lo
gaN所以:logaMN=logaM−logaN \begin{array}{ll} 证明:设log_{a}M=p,\quad log_{a}N=q \\
则\quad a^p=M,\quad a^q=N ,\quad 代入log_{a}{\frac{M}{N}},\\ 得 \quad
log_{a}{\frac{M}{N}}=log_{a}(\frac{a^p}{a^q}) = log_{a}a^{p-q} = p-q = log_{a}M
- log_{a}N \\ 所以:log_{a}\frac{M}{N}=log_{a}M - log_{a}N \end{array}证明:设loga​M=p,
loga​N=q则ap=M,aq=N,代入loga​NM​,得loga​NM​=loga​(aqap​)=loga​ap−q=p−q=loga​M−loga​N
所以:loga​NM​=loga​M−loga​N​

logaMb=b⋅logaMlog_aM^b=b\cdot log_aMloga​Mb=b⋅loga​M的推导过程

证明:设logaM=p则ap=M,代入logaMb得logaMb=loga(ap)b=logaapb=pb=b⋅logaM
\begin{array}{ll} 证明:设log_aM=p \\ 则a^p=M ,\quad 代入log_aM^b \\
得log_aM^b=log_a(a^p)^b = log_aa^{pb} = pb = b \cdot log_aM \end{array}证明:设loga​M
=p则ap=M,代入loga​Mb得loga​Mb=loga​(ap)b=loga​apb=pb=b⋅loga​M​

alogaM=Ma^{log_aM} = Maloga​M=M的推导过程

证明:设logaM=p则ap=M,代入alogaM得alogaM=alogaap=ap=M \begin{array}{ll} 证明:设log_aM=p
\\ 则a^p=M ,\quad 代入a^{log_aM} \\ 得a^{log_aM} = a^{log_aa^p} = a^p = M
\end{array}证明:设loga​M=p则ap=M,代入aloga​M得aloga​M=aloga​ap=ap=M​

<>换底公式

logbN=logaNlogablog_bN=\Large\frac{log_aN}{log_ab}logb​N=loga​bloga​N​的推导过程如下。
证明:设logbN=x,则bx=N两边同时取以a为底的对数logabx=logaNx⋅logab=logaNx=logaNlogab所以logbN=logaN
logab \begin{array}{ll} 证明:设log_bN=x,则b^x = N \\ 两边同时取以a为底的对数\\ log_a{b^x} =
log_aN \\ x\cdot log_ab = log_aN \\ x = \frac{log_aN}{log_ab} \\
所以log_bN=\frac{log_aN}{log_ab} \end{array}证明:设logb​N=x,则bx=N两边同时取以a为底的对数loga​bx=
loga​Nx⋅loga​b=loga​Nx=loga​bloga​N​所以logb​N=loga​bloga​N​​

<>其他公式

log⁡ana=1n\displaystyle \log_{a^n}a = \frac{1}{n}logan​a=n1​的推导过程

证明:设logana=p则(an)p=a即anp=a两边同时取常数对数,lganp=lganp⋅lga=lga,np=1,p=1n所以logana=1n
\begin{array}{ll} 证明:设 log_{a^n}a = p \\ 则\quad (a^n)^p = a 即 a^{np} = a \\
两边同时取常数对数,\quad lg{a^{np}}=lg{a} \\ np\cdot lga = lga, \quad np = 1,\quad p =
\frac{1}{n} \\ 所以log_{a^n}a = \frac{1}{n} \end{array}证明:设logan​a=p则(an)p=a即anp=a
两边同时取常数对数,lganp=lganp⋅lga=lga,np=1,p=n1​所以logan​a=n1​​

1logab=logba{\Large \frac{1}{log_ab}} = log_baloga​b1​=logb​a的推导过程。
这里用换底公式,过程比较简单

1logab=1lgblga=lgalgb=logba \frac{1}{log_ab} =
\frac{1}{\frac{lgb}{lga}}=\frac{lga}{lgb}=log_baloga​b1​=lgalgb​1​=lgblga​=logb​
a

loganM=1n⋅logaMlog_{a^n}M = {\Large \frac{1}{n}} \cdot log_aMlogan​M=n1​⋅loga​M
的推导过程

证明:设logaM=p则ap=M,代入loganMloganap=p⋅logana=1n⋅p=1n⋅logaM 证明:设log_aM = p \\ 则a^p
= M,代入log_{a^n}M \\ log_{a^n}a^p=p \cdot log_{a^n}a = \frac{1}{n} \cdot p =
\frac{1}{n} \cdot log_aM证明:设loga​M=p则ap=M,代入logan​Mlogan​ap=p⋅logan​a=n1​⋅p=n1​⋅
loga​M

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